ラングレーの問題『四角形ＡＢＣＤにおいて，∠ＡＢＤ＝２０°＝ａ，∠ＤＢＣ＝６０°＝ｂ，∠ＢＣＡ＝５０°＝ｃ，∠ＡＣＤ＝３０°＝ｄのとき，∠ＡＤＢ＝ｅの大きさを求めよ．』
この問題はラングレーが自ら創刊した雑誌「Mathematical Gazett」に提出したのが最初です（１９２２年，ただし出題形式は多少異なる）．４点ＡＢＣＤは同一円周上にはないためｅ＝３０°は技巧的な補助線を発見しない限り求めることができないことから，初等幾何の難問として多くのファンに愛されて（？）います．この記事の読者であればおそらく誰でも一度は取り組み，誰もが一度は悩んだことがある問題と思われます．
私は２通りの補助線の引き方を知っているのですが，正三角形や二等辺三角形，凧型などが唐突に出てくる証明に驚かされたことをいまでも鮮明に憶えています．種明かしをすれば，この問題は頂角が２０°の二等辺三角形と関係していて，したがって，正１８角形の対角線の交点と関係しています．正１８角形を描いて対角線を引けば，この問題の図が現れるというわけです（頂角２０°の二等辺三角形を４個の二等辺三角形に分割する方法は１１世紀のアラブの学者によって発見されていて，半径１の円に内接する１辺の長さｘは３次方程式ｘ^3＋１＝３ｘの解として求められます）．
［参］清宮俊雄「幾何学」科学新興深新社
にもすべて整数度の角をもつ整角四角形の難問がいくつか示されていることから，ラングレーの問題は孤立した問題ではないと考えられるのですが，実際，パラメータを変化させることによって連続的に図形を変形させて整角四角形の問題を作り出すことができます．
１９７５年頃からラングレーの問題を一般的する研究が始められ，コンピュータの助けも借りて，すべての整角四角形の問題を求めることが可能になりました．最近刊行された
［参］斉藤浩「ラングレーの問題にトドメをさす！」現代数学社
はその集大成になっています．
【１】整角四角形と整角三角形
３点Ａ，Ｂ，Ｃの内部に点Ｄがある場合において，すべて整数度の角をもつ整角三角形の問題も一連の「４点角問題」です．
たとえば，
［Ｑ］三角形ＡＢＣおよびその内部の点Ｄにおいて，∠ＡＢＤ＝３０°＝ａ，∠ＤＢＣ＝４２°＝ｂ，∠ＢＣＡ＝５４°＝ｃ，∠ＡＣＤ＝１８°＝ｄのとき，∠ＢＡＤ＝ｅの大きさを求めよ．
は数学／算数オリンピックの中学生版である「広中杯全国中学校数学大会」で出題された問題だそうです．
この場合，二等辺三角形の頂角は３６°，底角は７２°ですから，五角形ＡＥＢＣＦが正五角形となるように点Ｅ，Ｆをとれば，正五角形と正三角形を組み合わせた図形を用いて実にスマートな証明が可能となります．
ｅ＝２４°がその解答ですが，斉藤浩さんのアイディアの賜物が一冊の本
［参］斉藤浩「ラングレーの問題にトドメをさす！」現代数学社
として誕生することになったのは，この整角三角形のパラメトリック変形がきっかけとなっているそうです．
【２】パラメトリック変形の分類と４点角問題の全数検索
「４点角問題」はパラメータを変化させることによって一般化した証明可能な系列の問題の個別なケースにすることができます．この問題は１パラメータの系列，２パラメータの系列，非パラメータ系列（０パラメータ）に大別され，さらに１パラメータの系列は１７系統，２パラメータの系列は４系統に細分化されるそうです．
パラメータ系列，非パラメータ系列から整角四角形と整角三角形の問題を求めると，
整角四角形：９８２０組（３１４０２問題）
整角三角形：７１９２組（１７６５９問題）
計１７０１２組（４９０６１問題）ですべてであることが確認されています．
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ところで，チェバの定理とは『△ＡＢＣの辺またはその延長上にない点Ｏをとる．頂点Ａ，Ｂ，Ｃと点Ｏを結ぶ直線が△ＡＢＣの辺またはその延長とそれぞれＰ，Ｑ，Ｒで交わるとき
ＡＲ／ＲＢ・ＢＰ／ＰＣ・ＣＱ／ＱＡ＝１
が成り立つ．逆に，
ＡＲ／ＲＢ・ＢＰ／ＰＣ・ＣＱ／ＱＡ＝１
が成り立てば，ＡＰ，ＢＱ，ＣＲは１点で交わる．』というものです．
チェバの定理を三角関数を使って表現すると，正弦定理のような形になるのですが，４点角問題において第５の角度ｅを求める際には，チェバの定理の三角関数表現を利用することができます．すなわち，チェバの定理を使えば三角関数を用いた数値計算の議論に帰着されるのですが，計算機でゴリゴリ数値計算したとしても求められるのはあくまで近似解であって，丸め誤差の問題が派生します．
たとえば，ｅ＝１７．００００００１２°はｅ＝１７°とみなしてよいのか，それともたまたま１７°と非常に近い値をとっているだけなのか判断できないケースがあるそうです．にもかかわわず，
［参］斉藤浩「ラングレーの問題にトドメをさす！」現代数学社
では４点角問題の全数検索を行っています．それを考えればすべての４点角問題を求めることがいかに難しいか，非常に感慨深いものがあります．
【３】雑感
［参］斉藤浩「ラングレーの問題にトドメをさす！」現代数学社
ではラングレーの問題の一般化がなされています．この本は私のモヤモヤした気分をスッキリさせ，私を大いに喜ばせてくれましたし，今後も私のお気に入りの話題となるであろうと思います．
斉藤浩さんの必要かつ十分な研究成果と少々特殊で風変わりな本を出版して頂いた現代数学社に感謝したいと思います．興味を持たれた読者の皆様には是非とも購読（購入して読破）されることをお勧めします．