正五角形の書き方を紹介します。
書き方１
まず円１を書きます。その円の中心を通る直線を描きます。
その直線を４等分し、そこに直径が下の円の半径の円を二つ書きます。(円２、円３)
最初の直線に対し垂直二等分線を引き 垂直二等分線と円との交点を中心にして二つの円と接する円４を書く
仮面ライダーみたいな顔が出てきましたが、気にすることなく次に進みます。
円４と円１の交点の長さをコンパスでとり、それぞれの交点から円を２個書く。
同じ長さのコンパスを用いて新しい交点からもう一度円を書く。
交点をすべて結んで完成
書き方２
まずある長さの線分（線１）を引きます。
その垂直二等分線（線２）を始めの線分と同じ長さだけ引きます。
次に線１の端から線２の先に向かって直線（線３）を引きます。
線１の半分の長さをコンパスで計りとり、線２の先から円を書きます。
次に先ほど書いた円と線３との交点と線１の端との長さをコンパスで測りとり、線１の端を中心に円を書きます
また、線１の長さをコンパスで測りとり両端を中心に２個の円を描きます。
最後にすべての円の交点を結んで完成
書き方３
円を書き、その円の直径を書きます。
次に円と直径の交点から円の中心までの距離の円を書きます。
先ほどの円と最初の円の交点2点を結びます。
その直線と円の直径との交点を中心として、円の一番上の部分を通る円を書きます。
今書いた円と直径との交点を通り、円の一番上を中心とする円を書きます。この円の長さが正五角形の一辺になります。
新しくできた点を中心として、同じ長さの半径を持つ円を書きます。始めの円との交点をとります
もう一つ同じ長さで点を取って、５つの点を結んで完成です。
正五角形の書き方の証明
こんな書き方で大体正五角形になっているけど本当に正五角形かどうかはわかりませんよね？ってことで証明を作りました。
手順１：正五角形の一辺と対角線がすべて黄金比になっていることを証明する
ちょっと遠回りになりますが、今回の証明ではまず正五角形の一辺と対角線がすべて黄金比になっていることを証明しなくてはなりません。
正五角形の一辺を１、対角線の長さをＬとする。
つまりＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝ＥＡ＝１
ＤＡ＝ＤＢ＝ＥＣ＝Ｌ
次に右下の図において赤色、青色、緑色のすべての辺の組はそれぞれが平行になっているので、四辺形ＥＧＢＡとＦＣＢＡはともに平行四辺形である。
ここで平行四辺形ＦＣＢＡに注目すると、
ＢＡ＝ＦＣ＝１となる。
よってＥＦ＝ＥＣ－ＦＣ＝Ｌ－１
同様にＧＣ＝ＥＦ
またＦＧ＝ＥＣ－ＥＦ－ＧＣ＝Ｌ－２×(Ｌ－１)
よってＦＧ＝２－Ｌ
ここで⊿ＥＡＦと⊿ＦＤＧにおいて
右上図の青線の錯角が２個あるので
⊿ＥＡＦ∽⊿ＦＤＧ
ここで左図の赤線と青線の比は同じなので
赤：青＝１：L－１＝L－１：２－Ｌ
(⊿ＥＡＦ) (⊿ＦＤＧ)
これを計算すると
（L-1）2＝２－Ｌ
Ｌ2－２Ｌ＋１＝２－Ｌ
Ｌ2－Ｌ－１＝０
これを解くと
ということで正五角形の一辺と対角線の辺の比が黄金比になります。
手順２：黄金比を使って今回の書き方が正五角形になっていることを証明する
上で見たように、赤色の線と青色の線の比は
となります。
つまり二つの辺の長さの比が
となる二等辺三角形を書くことができたら。 正五角形を書けることになります。
それではそれぞれの書き方について証明していきます。
書き方１
①小さいほうの円の半径を１大きい円の半径を２とします。緑色の直線の長さをxとすると三平方の定理より
となり緑の線は√５だとわかります。
②小さいほうの円が１だということから茶色の直線の長さは√５-１になります。
下の円は茶色の線を半径にして書いた 円なので、図のように下のほうも√５-１になります。
茶色と青色の線の比は√５－１：２となっているので
となります。よってこの２本は黄金比になっています。
③⊿dacと⊿oabの相似を証明します。
⊿dacは図形の対称性より明らかに二等辺三角形である‥‥①
⊿oabは円の半径を２辺とする三角形なので 同様に二等辺三角形である‥‥②
同一の弧から作られる角なので∠aob=∠cobとなる‥‥③
円周角の性質より
∠adc=(∠aob+∠cob)÷２‥‥④
③④より∠adc=∠aob‥‥⑤
①②⑤より三角形の一つの角とそれをはさむ二つの辺の比が それぞれ等しいので
⊿dac∽⊿oabとなる。
ここで三角形の対応する辺の比はそれぞれ等しいので
直線ad:ac=
となる。これで対角線と一辺が黄金比になっていると証明できたので作図でできた五角形が正五角形であると解かる。
書き方２
①始めの直線の長さを２とします。
垂直二等分線を引いたので、赤色の線は１になります。
②垂直に立てた線に向かって直線を引いたので三平方の定理より
そこからさらに１の長さをとりました。
③その長さは√５＋１となります。 この長さを対角線になるように図形を作図していきます。
これで五角形の一辺と対角線の比は２：√５＋１ となるのでとなり、黄金比になることがわかった。よって正五角形が作られていることがわかる。