単純な定積分の例を紹介

[1] ∫₁^e dx/x = [log x]₁^e = log e – log 1 = 1 – 0 = 1.

[2] ∫₁² 3^xdx = ∫₁² e^{x log 3}dx = [3^x/log 3]₁² = (9 – 3)/log 3 = 6/log 3.

[3] ∫₀^π cos x dx = [sin x]₀^π = sin π – sin 0 = 0 – 0 = 0.
実はこの積分は y = cos x のグラフをみると, 0 ≦ x ≦ π/2 の部分と, π/2 ≦ x ≦ π の部分とで相殺しあって 0 になるということがすぐに分かる。

[4] ∫₀^π |cos x| dx = ∫₀^π/2 |cos x| dx + ∫_π/2^π |cos x| dx
= ∫₀^π/2 cos x dx – ∫_π/2^π cos x dx = [sin x]₀^π/2 – [sin x]_π/2^π 
= sin π/2 – sin 0 – (sin π – sin π/2) = 1 – 0 – (0 – 1) = 2.
これも graph が分かれば, 与式 = 2∫₀^π/2 cos x dx となることが分かって, 簡単である。

[5] ∫₀^π/2 sin x dx = [-cos x]₀^π/2 = -cos π/2 + cos 0 = -0 + 1 = 1.

[6] ∫₀^π/2 sin² x dx (二倍角の公式 cos 2x = 1 – 2 sin2x より)
= (1/2)∫₀^π/2 (1 – cos 2x) dx = (1/2)[x – (1/2)sin 2x]₀^π/2
= (1/2) *1 = π/4.

[7] ∫₀^π/2 cos² x dx (二倍角の公式 cos 2x = 2 cos²x – 1 より)
= (1/2)∫₀^π/2 (1 + cos 2x) dx = (1/2)[x + (1/2)sin 2x]₀^π/2
= (1/2) *2 = π/4.
これも graph を描けば, [6] と値が一致するのは一目瞭然である。

[8]

[9]

[10]

以下の三つの例では m, n は自然数とする。(こちらを参照のこと)

[11] ∫₀^2π cos mx cos nx dx

1. m = n の時
   与式 = (1/2)∫₀^2π (1+ cos 2nx) dx = (1/2)[x + (1/(2n)) sin 2nx]₀^2π
   =(1/2((2π – 0) + (1/(2n))sin 4nπ – sin 0)) = π.
2. m ≠ n の時

   

[12] ∫₀^2π sin m x sin nx dx

これも [11] と同様に, m = n の時, π に等しく, それ以外の時は 0 に等しくなる。

[13] ∫₀^2π sin m x cos nx dx = 0. (途中経過省略)

上記の三つは Fourier 級数 (フーリエ級数) というものの基本になっている。

[14]

ここでは黙って半角の公式と, graph の対称性を用いている。