対数法則とその証明を簡単に解説してみた

以下底に関しては底に関する条件, 真数に関しては真数に関する条件が成立するとする。

1. log_a (MN) = log_a M + log_a N.
2. log_a (M/N) = log_a M – log_a N.
3. p log_a M = loga M^p.
4. [底の変換公式]

これらの公式は, 対数法則と呼ばれている。 対数函数は指数函数の逆函数だから, 全て指数法則を対数の言葉に翻訳したものである。

[証明]

1. x = log_a (MN) と置く。 定義より a^x = MN. 一方 y = log_a M, z = log_a N と各々置くと, 定義から a^y = M, a^z = N. 従って, a^x = MN = a^ya^z = a^y+z. 即ち x = y + z. x, y, z を元に戻せば対数法則になっている。

2. は 1. と同様。 (練習問題)

3. x = log_a M と置くと定義から a^x = M. 従って M^p = (a^x)^p = a^px. この両辺の a を底とする対数を採って, x を元に戻せば対数法則になっている。

4. この公式を直接証明する代わりに

log_b a log_a M = log_b M

の形で証明する。 x = log_b a log_a M = log_b M と置くと,

であるから結局

を証明すればよい。 さてここで (lhs とは左辺 left hand side, rhs とは右辺 right hand side のこと)

別の証明を発見したので, そちらも紹介する。

先ず x = log_a M と置こう。 定義から a^x = M である。 3 ではここで a を底にして対数をとったが, その代わりに b を底として対数をとる。 すると

log_b a^x = log_b M.

ここで対数法則の 3 から x log_b a = log_b M. ここで a は底だから 1 ではないので, log_b a も 0 ではない。 よって両辺をこれで割ればよい。

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